Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak - ARIFUBLOG

download

Meningkatkan Intelektual Anda

About

head-banner

Post Top Ad

Responsive Ads Here

Post Top Ad

Jumat, 25 Januari 2019

Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Responsive Ads Here

3t1cChBFTHYSmxaUKScR0F


Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi
|ax + b| = ax + b       jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b)   jika x < -b/a

Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut.

Contoh 7
Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
a.  |4x - 3|
b.  |2x + 8|

Jawab :
a.  Untuk |4x - 3|
     |4x - 3| = 4x - 3       jika  x ≥ 3/4
     |4x - 3| = -(4x - 3)   jika  x < 3/4

b.  Untuk  |2x + 8|
     |2x + 8| = 2x + 8       jika  x ≥ -4
     |2x + 8| = -(2x + 8)   jika  x < -4


Contoh 8
Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah...

Jawab :
|x - 2| = x - 2       jika  x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2)   jika  x < 2

Untuk 
x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1  
 x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1    -x = 3
|x - 2| = 2x + 1    x = -3
Karena x 
≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi

Untuk 
x < 2
|x - 2| = 2x + 1  
 -(x - 2) = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1    -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1    -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1    x = 1/3
Karena x < 2, maka 
x = 1/3 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah 
x = 1/3.


Contoh 9
Tentukan HP dari |x + 1| > 2x - 4

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

Untuk 
x ≥ -1
|x + 1| > 2x - 4  
 x + 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4    -x > -5
|x + 1| > 2x - 4    x < 5
Irisan dari 
x ≥ -1 dan x < 5 adalah -1 ≤ x < 5   

Untuk 
x < -1
|x + 1| > 2x - 4  
 -(x + 1) > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4    -x - 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4    -3x > -3
|x + 1| > 2x - 4    x < 1
Irisan dari 
x < -1 dan x < 1 adalah x < -1   

Jadi, HP = {
x < -1  atau  -1 ≤ x < 5}
Jadi, HP = {x < 5}


Contoh 10
Nyatakan |x - 4| + |2x + 6| tanpa menggunakan simbol nilai mutlak

Jawab :
|x - 4| = x - 4 jika x ≥ 4
|x - 4| = -(x - 4) jika x < 4

|2x + 6| = 2x + 6 jika x ≥ -3
|2x + 6| = -(2x + 6) jika x < -3

Jika interval-interval diatas digambarkan pada garis bilangan akan diperoleh

clip_image001

Untuk x < -3
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) - (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 - 2x - 6
|x - 4| + |2x + 6| = -3x - 2

Untuk -3 ≤ x < 4
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = x + 10

Untuk x ≥ 4
|x - 4| + |2x + 6| = (x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = x - 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = 3x + 2

Dari uraian diatas, kita simpulkan
|x−4|+|2x+6|=⎧⎪⎨⎪⎩−3x−2jikax<−3x+10jika−3≤x<43x+2jikax≥4|x−4|+|2x+6|={−3x−2jikax<−3−x+10jika−3≤x<4−3x+2jikax≥4 


Contoh 11
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan
|x + 1| + |2x - 4| = 9

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

|2x - 4| = 2x - 4       jika  x ≥ 2
|2x - 4| = -(2x - 4)   jika  x < 2

clip_image002

Untuk x < -1
|x + 1| + |2x - 4| = 9  
 -(x + 1) - (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9    -x - 1 - 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9    -3x = 6
|x + 1| + |2x - 4| = 9    x = -2
karena x < -1, maka 
x = -2 memenuhi.

Untuk -1 ≤ x < 2
|x + 1| + |2x - 4| = 9  
 (x + 1) - (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9    x + 1 - 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9    -x = 4
|x + 1| + |2x - 4| = 9    x = -4
karena -1 ≤ x < 2, maka x = -4 tidak memenuhi.

Untuk x ≥ 2 
|x + 1| + |2x - 4| = 9  
 (x + 1) + (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9    x + 1 + 2x - 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9    3x = 12
|x + 1| + |2x - 4| = 9    x = 4
karena x ≥ 2, maka 
x = 4 memenuhi.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah 
x = -2  atau  x = 4.


Contoh 12
Tentukan HP dari |x - 1| + |x + 2| ≥ 4

Jawab :
|x - 1| = x - 1       jika  x ≥ 1
|x - 1| = -(x - 1)   jika  x < 1

|x + 2| = x + 2       jika  x ≥ -2
|x + 2| = -(x + 2)   jika  x < -2

clip_image003

Untuk x < -2  
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  
 -(x - 1) - (x + 2) 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4    -x + 1 - x - 2  4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4    -2x 5
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4    x ≤ -5/2
Irisan dari 
x < -2 dan x ≤ -5/2 adalah x ≤ -5/2

Untuk -2 ≤ x < 1
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  
 -(x - 1) + (x + 2) 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4    -x + 1 + x + 2 ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4    3 ≥ 4  (bukan penyelesaian)

Untuk
 x ≥ 1  
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  
 (x - 1) + (x + 2) 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4    2x ≥ 3
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4    x ≥ 3/2
Irisan dari 
x ≥ 1 dan x ≥ 3/2 adalah x ≥ 3/2

Jadi, HP = {
x ≤ -5/2  atau  x ≥ 3/2}


Contoh 13
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, tunjukkan bahwa untuk setiap x bilangan real dengan a > 0 berlaku | x | < a  
 -a < x < a.

Jawab :
Untuk 
x ≥ 0 maka | x | = x, akibatnya
| x | < a  
 x < a
Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah
0 ≤ x < a

Jadi, untuk x ≥ 0 dan a > 0 berlaku
| x | < a    0 x < a   .................................(1)

Untuk 
x < 0 maka | x | = -x, akibatnya
| x | < a  
 -x < a
| x | < a    x > -a
Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah
  
-a < x < 0

Jadi, untuk x < 0 dan a > 0 berlaku
| x | < a    -a < x < 0   ................................(2)

Dari (1) dan (2) kita simpulkan
Untuk setiap x bilangan real dan a > 0 berlaku
| x | < a    -a < x < 0  atau  0 x < a
| x | < a    -a < x < a

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Post Top Ad