Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak - ARIFUBLOG

download

Meningkatkan Intelektual Anda

About

head-banner

Post Top Ad

Responsive Ads Here

Post Top Ad

Jumat, 25 Januari 2019

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Responsive Ads Here
8



Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.


| x | = a   dengan a > 0
Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

clip_image001

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu 
a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah 
x = -a atau x = a.


| x | < a  untuk a > 0
Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

clip_image002

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah 
-a < x < a.


| x | > a  untuk a > 0
Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.

clip_image003

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah 
x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :

SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a.  | x | = a    x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a    -a < x < a
c.  | x | > a    x < -a  atau  x > a


Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 7| = 3  
 2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3    2x = 10  atau  2x = 4
|2x - 7| = 3    x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.


Contoh 2
Tentukan HP dari |2x - 1| = |x + 4|

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 1| = |x + 4|

 2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)
 x = 5  atau  3x = -3
 x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.


Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7  
 -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7    -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7    -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}.


Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6  
 4x + 2 -6  atau  4x + 2 6
|4x + 2| ≥ 6    4x -8  atau  4x 4
|4x + 2| ≥ 6    x -2  atau  x 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.


Contoh 5
Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|3x - 2| ≥ |2x + 7| 
 3x - 2 -(2x + 7)  atau  3x - 2 2x + 7
 5x -5  atau  x 9
 x -1  atau  x ≥ 9

Jadi, HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}


Contoh 6
Tentukan HP dari 2 < |x - 1| < 4

Jawab :
Ingat : a < x < b    x > a  dan  x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan
|x - 1| > 2  dan  |x - 1| < 4

Berdasarkan sifat c :
|x - 1| > 2  
 x - 1 < -2  atau  x - 1 > 2
|x - 1| > 2    x < -1  atau  x > 3   ................(1)

Berdasarkan sifat b :
|x - 1| < 4  
 -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4    -3 < x < 5   ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut
clip_image001

Jadi, HP = {
-3 < x < -1  atau  3 < x < 5}


Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Post Top Ad